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Teorema de Binomio

28/noviembre/2011

Ejemplos:

(a+b)2 = (a+b) (a+b)
           = a2 + ab + ba + b2
              a2 + 2ab + b2

(a+b)3 = [(a+b) (a+b)] (a+b)
           = (a2 + 2ab + b2) (a+b)
           = a3 + a2b+ 2a2b + b2a + b3
           = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3


(a+b)4= a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

1.

(x+2)3
= x3 + 3x2(2) +3(x)(2^2) + 2^3
= x3 + 6x2 +12x + 8

2.

(2x+3) (2x+3) [(2x+3)]
4x2 + 6x + 6x + 9 + [(2x + 3)]
= 2x3 + 3(2x)2 (3) +3(2x) (3^2) + (3)^3
= 8x3 + 36x2 + 54x + 27

Teorema de Binomio

Comsidere los siguientes desarollos de potencias (a + b)  elevado a la n (n es igual a, exponente) donde a + b es cualquier binomio.

                                         (a+b)0          1
                                     (a+b)1       1            1
                                (a+b)2       1          2             1
                           (a+b)3      1         3            3             1
                    (a+b) 4      1         4           6            4            1
                 (a+b)5      1        5        10          10          5           1

Factoriales (!)

Para cualquier numero natural n, la cantidad n factorial esta dada por:
n!= n (n-1)(n-2)...2*1

1. 3!= 3*2*1=6

2. 5!=5*4*3*2*1=120

3. (6-3)!= 3!=6

4. 6!/3!= 6*5*4*3*2*1/3*2*1= 120

5.(6/3)!= 2!=2

6. 6!-3!=720-6
            =714

7. 2!(5-3)!/7!  =2!*2!/7!= 4/5040

Patricia Sofia Rivera Cruz

10 de Noviembre de 2011

Permutaciones

Sucesos dependientes e independientes

Sucesos independientes= si el hecho de que ocurra uno NO AFECTA la probabilidad de que ocurra el otro.

Sucesos dependientes= si el hecho de que no ocurra AFECTA la probabilidad de que el otro ocurra.


Indica si el suceso es dependiente o independiente

Ej.
  S I  1. Se lanza una moneda de diez centavos y cae cara y se lanza una moneda de cinco centavos y cae cara.

  S D 2. En un juego de mesa eliges una ficha de color y luego tu hermana elige otro color.

Probabilidad de los sucesos independientes

  Si  A y B son sucesos independientes entonces   P(A y B) = P(A) · P(B)


Ej.
1. Un experimento consiste en elegir al azar una canica de una bolsa, devlverla y elegir otra canica. En la bolsa hay 7 canicas azules y 3 amarillas. ¿Cual es la probabilidad de sacar una canica amarilla primero y una azul despues?


P= (amarillas y azul)
P= (amarillas) · (azul) 
    3/10 · 7/10 = 21/100 = 21%


2. Si usted lanza 2 dados y ambos caen en el mismo numero se dice que lanzo dobles ¿Cual es la probabilidad de lanzar dobles tres veces consecutivamente?


     6/36= 1/6


 P=(doble,doble,doble)
  
   1/6 · 1/6 · 1/6= 1/216

Probabilidad Experimental

Es la razon entre la cantidad de veces que ocurre el suceso y la cantidad de pruebas.

P.E = Cantidad de veces que ocurre 
           cantidad de pruebas

Ejempo:
 Un experimento consiste en hacer girar una rueda. Usa los resultados de la tabla para hallar la probabilidad experimental de cada suceso.

a.  Rueda cae en azul       =     8/20 =  2/5 = .4 = 40%
 

Resultado	Frecuencia
Rojo	7
Azul	8
Verde	5

                                                 n = 20

b. Rueda cae en rojo  
    P.E =  7/20 = .35 = 35%

c. Rueda cae en verde
    P. E = 5/20 = .25 = 25%

d. Rueda No cae en verde
    P.E = 15/20 = .75 = 75%

e. Rueda No cae en Rojo
    P.E = 13/20 = .65 = 65%


PROBABILIDAD TEORICA

Es la razon entre la cantidad de maneras en las que puede ocurrir un suceso y el total de resultados igualmente probables.

P.T = Cantidad de maneras que pueden ocurrir el suceso

            total de resultados totalmente probables

Resultados igualmente Probables

	azul         amarillo verde       rojo

 

     

*Existe la misma probabilidad de que caiga en cualquiera de los 4 colores.



Resultados NO igualmente probables


  azul                 amarillo
             verde  rojo   amarillo

*Hay mas probabilidades de que caiga en azul.

          

Probabilidad & probabilidad experimental

- La probabilidad mide la frecuencia con la que aparece un resultado determinado cuando se realiza un experimento.

Ejemplo: tiramos un dado al aire y queremos saber cual es la probabilidad de que salga un 2, o que salga un numero par o que salga un numero menor que 4.

- El experimento tiene que ser aleatorio, es decir, que pueden presentarse diversos resultados, dentro de un conjunto posible de soluciones, y este aun realizando el experimento en las mismas condiciones. por lo tanto, a prior; no se conoce cual de los resultados se va a presentar.

Ejemplo: lanzamos una moneda al aire: el resultado puede ser cara o cruz, pero no sabemos de ante mano cual de ellos va a salir.

Continuacion... Tema: Probabilidad Experimental

A. Experimento- actividad en la que participa la probabilidad.

B. Prueba- Cada repeticion u observacion de in experimento.

C. Resultado- cada una de las consecuencias posibles.

D. espacio maestral- es el conjunto de todos resultados

Ej: Indica el espacio maestral para cada experimento.

1. lanzar monedas

{Ca Cr, Ca Ca, Cr Cr, Cr Ca}

2. Girar dos ruedas.

{rr, Az az, am am, vv, r, az.. etc}

E. Suceso- es un resultado o conjunto de resultados.

F. probabilidad- es la medida de la posibilidad de que un suceso ocurra.

- Las probabilidades se escriben en fracciones o decimales desde el 0 al 1 o percentajes desde 0% a 100%

 - 0

Los sucesos con una probabilidad con una probabilidad del 0% no ocurren nunca.

-50%

los sucesos con un 50% tiene la misma probabilidad de ocurrir como de no ocurrir.

-100%

Los sucesos con un 100% de probabilidad ocurren siempre.

Tasa Porcentual Anual o APR

Interes Compuesto

Interes Compuesto

Formula:  A= P(1 + i) ⁿ         
                   I = A – P

A = monto Acumulado
P = Principal
m = número de periodos de composición al año
i = tasa periódica  =   r/m
t = tiempo (en años)
n = número de periodos de composición  (tm)
I = interés compuesto
r = tasa de interés anual (nominal)

Periodos de Composicion

Composicion de Interes	Periodo de Composicion	Num. de periodos al año
Anual	1 año	1
Trimestra;	3 meses	4
Semestral	6 meses	2
Diario	365 dias	365
Mensual	1 mes	12

Calcular el Valor Futuro de $1,000 invertidos. Sea r= 12% y t= 3 años. Calcular el número de periodos que se capitaliza en el interés por periodo.

Periodo De Capitalizacion	m	tiempo	I = r/m	n = m(t)	A
Anual	1	3	0.12 = 12%	3	$1,404.93
Semestral	2	3	0.06 = 6%	6	$1,418.52
Trimestral	4	3	0.03 = 3%	12	$1,425.70
Mensual	12	3	0.01 = 1%	36	$1,430.77
Diario	365	3	0.0003 = .03%	1,095	$1,388.81

Anual- A = P (1+ i) ⁿ                                         Semestral- A = P (1 + i) ⁿ                                        

              A = 1000(1 + .12) ᶟ                                                   A = 1000 (1 + .06) ⁶

              A = $ 1,404.93                                                          A = $1,418.52

Trimestral- A = P (1 + i) ⁿ                                Mensual- A = P (1 + i) ⁿ                                        

                    A = 1000 (1+ .03) ˆ12                                  A = 1000(1 +.01) ˆ36
                    A = $1,425.76                                               A = $1,430.77

Diaria-   A = P (1 + i) ⁿ 

               A= 1000(1+ .0003) ˆ 1095
               A= 1,388.81

PARA VALOR PRESENTE    

Cuanto necesitamos colocar en una cuenta que paga un interes compuesto de r= 6% capitalizado mensualmente para tener $65,000 en 35 años.         

A = P (1 + i) ⁿ   
65,000 = P (1+0.005) ˆ420

i= r/m =   0.06/ 12
i= 0.005
n= 12(35)
n= 420  

                                                       

65000/8.12  =   P (8.12)/ (8.12)          8,001 =  P



Jayreem Sharis

Inflacion

Es un aumento en la moneda en circulacion lo que conduce a una caida en su valor y un aumento consecuente de precios.

 Ej. 1. Suponga que la tasa de inflacion en E.U. es de un 6% un persona que gana un salario de $30,000 desea saber que salario esperar en 10 aÑos durante la siguiente decada.

A=P(1+i)^n
A=3000(1+0.06)^10
A=$53,725.43


       2.Acaba de nacersu primera hija y desea darle 1 millon de dolares cuando se retire a la edad de 65 aÑos, si se invierte si dinero al 16% compuesto cada 3 meses, cuanto necesita invertir hoy para que su hija tenga 1 millon de dolares a los 65 aÑos.

A=$1,000,000
R=16% 
t=65 aÑos (trimestral
i= 16/4= 4%
n= 65 x 4 = 260


P= A+ (1+i)^-n
P=1,000,000 (1+.04)^ - 260
P=$37.27